出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
, I$ U. \5 P( \
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
! q$ Y% d7 Q4 M3 Z" ~* H
a(a-b)=(a+b)(a-b)
/ }4 K7 K2 _# {: t( ]* x" U; y) @a=a+b
0 I- a/ O7 j/ w5 n1 M, ea=2a
! I: T& g8 V: d& ]1=2
/ R: k# W+ P8 l+ `- v
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
; R7 ?/ M7 {& g" h9 z, e' ~/ z/ k
+ b( r: }) g1 i/ O6 X! ~$ z$ b( l$ u1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' q3 i* N) A- N2 C9 F* h2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

( F9 j- T6 S. M看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  U+ ^# @" {7 |; k1 I+ V" j+ L1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 S2 |* M6 r( l

9 X; o7 g( U4 o- [& j, s为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
6 H9 h# r& F/ J' H9 a2 \         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
' x* \( V4 G  r) D6 G
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
- _6 E, i& v1 ksince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
$ }1 Q. Y  b3 T( `1 Q; s                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* b) O8 ?" ]  \/ [" s1 ]by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! Z2 W# g1 V& l. [7 a* N7 }# ~! {9 z6 K3 s                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
  v) m# O! \4 O/ K3 ^& h9 @; i
9 ?; I9 D1 J6 X0 a! P3 H3 W4 g[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
8 w+ ^  q& f, I7 w1 v' V
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.