出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
* o5 K5 C7 @7 ]6 q: Q! ^7 w% v
2。下边证明有没有毛病？
/ D4 _5 U* g  z* y6 L$ V5 K
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
! L& O8 Z: F" [6 `% p/ z5 |两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
2 s6 U3 m9 q4 B. _+ \a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
  _! r4 w2 |  U$ j
1）不能。比如1
8 D- _5 V- ?  E( K$ M7 b2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; x* a1 H* k5 M* F( ~3 C( o6 s: Q$ L2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: H0 h4 i7 s; ~% v' S& I) J7 X1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

7 F) _* b6 I7 L看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

, o0 {/ Z* s$ z+ n为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
  ~" w8 G/ H! @0 O" r2 y5 o7 D         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
4 ~5 S$ d( R" J" s3 Z! o                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
3 z7 R. f: E0 Z" l' b; s$ s) u* O                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, P" o, O; y: j4 B7 {                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 a/ W: b! V/ J+ M( }by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
5 e3 F' s$ V/ _2 @' k+ CSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 c7 A% i% a2 U                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
& ?/ v& j! n! Y! X+ C
/ M1 E8 {2 F. ~2 Z4 s8 fConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
( `' k, y( W) i: Z& J8 y" ^& o
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
& N: Q5 L: j1 U0 U4 }2 D1 b( I
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' V: f) S- e# O+ ]: q- ZShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

: M# R& j9 x' g, O) Z0 k
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.