出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
3 c( a6 R8 }# Z$ z( C- x- K
设  a=b
# Q( W$ h0 b8 D+ D3 A
$ Y, ?* d. C0 C3 @2 h则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
7 v( B  Y' h, C5 E# _
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
: t1 F" o9 w$ g. }$ ]2 \a=2a
& G( b; }0 t" A) c. n8 s# y' O( F& i8 D1=2
: s) j+ V$ f' N( f3 @3 ^+ T& E( ?2 o
4 l! V/ w6 h9 K4 }. P2 P证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
9 m/ u4 @! n5 A$ k3 z, L+ L
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# }2 h' P7 J' ~( o2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 S, f0 E2 L1 x. z0 |1 Q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 {$ ?* W9 d7 U- }$ N7 ^9 Z8 y, a# ]2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 e7 _2 V: ~6 E: D! U# v1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. f( X3 \: }+ a% E

3 B& K. _: L" G2 E为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
4 h, J& @8 b! N4 m4 T
/ ]  c  f6 F: B/ D$ {Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

4 C9 W8 R4 x0 h; n! `% [$ QInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
8 E+ }. `7 D( m* j) f) |2 s
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# q- s! Q( S  |3 m% v9 X: o6 yThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
: }) \; k1 U- I* H$ ?                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' u2 h. L! Z: J+ S! N+ Bby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
; c) x0 ?; c/ _3 k% @% ySo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
0 c% n: a- b( T# M& J; J
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
: l/ V7 s" W0 z1 w) G; c
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
) [# D2 Q3 p6 ^0 ^; z
( O6 M+ ~3 k& w3 g第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
% w- E0 @$ ~4 wShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

+ H" B; J, Y6 X" c; \
8 R" \8 s, q* G  V* [SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.