出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
" y& U5 e0 l0 H6 I
2。下边证明有没有毛病？

8 Y4 P7 E! s, Y. k3 @设  a=b
- {: }2 [/ j  i' p4 A7 q
7 E0 |* ?6 f# P则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
, o: P( }3 o$ g; e' \
a(a-b)=(a+b)(a-b)
) y* b- G0 o2 G7 r" P" `1 D1 @a=a+b
# o6 D- E& H" P. d3 K" Y8 oa=2a
: ]4 }6 b1 j% G1 l% J2 a& d0 k1=2
* l; X# }1 L$ D. k6 j
5 G/ P# o# S" Z. b% b证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
8 m9 k6 W" G; F* w4 b' _3 W
1）不能。比如1
# X& Z8 U0 k, K2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! Q3 |! E/ o1 I: K# e% v1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; i" P* G/ ?. K9 }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

! l& D( H$ o0 i. `4 C- t5 e" {看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 B( l7 n, k2 d' C2 o9 I9 D# v7 |1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; X  B( y  @. X4 z3 P, @4 w

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

% c" t0 R# A$ ZProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
5 q6 M2 z9 a3 M- d
+ {# C; ?- O& b: e- d) cInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
; j/ p5 I1 v2 g8 K
+ v0 |) |! u. ]6 _Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
# r" P# D( g- I4 x# y                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
% i2 J7 |* d' @% B1 N. i) H                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& C* e3 F6 r; j3 v                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ ?- ~# b( W( |by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
3 t1 u' e6 K; \
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

; i/ L% v' h* k# ~( m+ e/ Y+ d第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
( i: b, o6 L( \% B8 m) u+ lShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& T# J! x1 k; l4 [
8 S8 t+ ~, H& \* s* q$ CSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.