出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
/ K. K0 p- Z9 V两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
& {9 Z) s/ J3 Ua=2a
( u8 `: A* C- v2 ~" c, x1=2
! D0 o- ~' I( O8 J$ B( G) f
9 ^. o. D1 D" M1 a4 ~! `证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

3 h9 K+ G6 V9 d% r. \9 l3 q1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( y' G8 I) I$ i* o0 @$ |6 ?2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 `" ~* _' d" K1 r5 O+ V1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

9 r+ q( d/ ^. e8 I: Q看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) T0 ^+ Z- M0 e9 r, @" `. F1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: l  x' u- O% J. O7 [

; |+ C; r5 E4 d) D3 Y( j为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
( a, H) e; d" r$ ^1 V% w" [5 PBasis:   (n=2)
$ i; Z6 q, `( `' u, C2 a2 X/ H         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
, ^" [4 S% Y  A8 J- L6 m
" J7 S" L/ g, `! jInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
/ ?8 h. |4 e, k  H
( c" s- b8 d9 |) R3 E7 L7 w2 z6 H8 {Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
0 O8 c8 P, g0 dThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
# W3 G) ^' Z: t) Q$ T6 P                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

$ W$ m' Z$ E5 X1 r, Y4 W4 x[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! a% @! T3 ?! r
+ g; W6 L1 y# C7 _SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.