出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
5 R* A: {# F) z; W# ]/ f9 ]! w
2。下边证明有没有毛病？
# w1 W/ w7 ^- z
/ }7 i" @! u/ `) h( ]设  a=b

' d7 `% S1 W0 o# a* ?1 X9 d; ?  V则有： a*a-a*b=a*a-b*b
. }; @( E+ C6 x* ]% C5 q" h* g3 @0 s两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
+ {7 ^2 [* K$ i5 e
4 d: d0 v7 V: B1 x, d* t6 g4 Y6 B! ma(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
" R4 s) R# s3 O9 H/ ?1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
: m/ L0 h& Z/ E
1）不能。比如1
' Z3 G$ L! h- K; d" t% I: F2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" l. O, c9 u& W& ?" M* d1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 s* s# ~. M) q

# c. U: k/ E& D# D7 z0 h! A3 i为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
/ e7 u' u: h/ w, R
Proof:
Let n >1 be an integer
8 D7 a1 Y& q+ n( ^' L8 [Basis:   (n=2)
* {5 q% i( s. o/ t         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

& ^- C% Z; _% `( D' ^# KInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

5 v4 j1 E5 o& O1 }. VNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
7 ?$ _# B+ B, s8 Isince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
. i8 P; h' o7 F: P/ D. V4 G" bThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
) w+ s" I. K  k8 [* D                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ D2 u; B: n3 i                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
; ~. W0 w2 i7 I
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

# g/ e, T" i% }4 u: o+ A' A& O0 F第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
2 W0 H* T: r0 o3 }. B' t/ jShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 n9 w. ?7 t& \7 w8 K
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.