出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

( S; ~1 `5 }% c/ O- c& M设  a=b

% C- ~+ A, y7 N  ~则有： a*a-a*b=a*a-b*b
' S: T" ~) o$ h$ \两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
6 K, j- K! h( x
' X6 z4 ?: a2 S7 ja(a-b)=(a+b)(a-b)
% Q- T* E& m5 \, p" va=a+b
& o- k$ C4 ^( R: ta=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
0 n8 ?+ d3 O! ]: @" P
/ _  k2 ~1 c1 |4 w1 m  N1）不能。比如1
3 Y  U; H+ d) P2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ Z5 L  V$ u! B7 f; y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* `5 q4 `. H0 k( y( S$ _
  q4 Y5 @: [% RProof:
/ F0 Z- Y; b5 Z8 o% o0 {0 iLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

0 E0 C- g) M5 g! `Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
$ K0 p6 b& v. y+ E/ i0 a% p  U
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
8 |7 N% e; ~1 q+ |, k! YThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
9 Q1 D# p& K. x4 R                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. M9 H3 {8 `6 e! H& {( p! s                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- w9 x8 O) W5 R  s# l                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 {3 {( W- U* V# I7 A2 c
3 `) \0 d1 ~( k6 ], a9 \  V4 j# B[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
# d* A! H+ X6 P
6 @- w# }8 w% M# w第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' D$ b) O# a- [: ~
  }6 B$ A; \' pSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.