出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
) t" R, u. s6 [
4 [) L8 t8 P/ U2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
% H/ B/ ?( f) Y: I3 K- n* Xa=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
2 K: L$ X6 p+ S& q5 {2 h" e. D
  `# ?: e# I9 b& o8 i5 N  o8 v& o( \1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 Q' u& l9 I) o6 _0 V3 d1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

1 f; s, t- @6 a3 C看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! a9 u+ a) z1 z( l1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* U+ c& V+ J3 n: i, ]. J3 [! Z5 |

8 _5 n! c+ N6 S; r2 J  B" A为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
% G0 f; B; q2 q         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
6 v9 F' N7 g6 w7 |6 {+ g, Y' c7 z
) V: Q3 c- C  L5 XInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
8 n  R5 h8 l9 v- y0 ~                                     K^3 – K can by divided by 3.
! }6 |- ^" p, L) x4 q# D" _! m
5 @1 y$ j9 ]- s4 E- yNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
6 f( b1 A5 T4 ssince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& D: F- b. C2 _. j8 \by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
/ S, s& r" U  [8 D8 @5 g) O" o: gShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.