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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?" }2 k/ f4 f; c8 r1 Y" L
1 X! Z6 H: H8 z) S1 @! `2 v6 Y" S
2。下边证明有没有毛病?0 Y' o' U6 U& q) ]6 ~

( S; ~1 `5 }% c/ O- c& M设  a=b& A  c2 X- N1 ^# w8 I- X% |/ d

% C- ~+ A, y7 N  ~则有: a*a-a*b=a*a-b*b
' S: T" ~) o$ h$ \两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
6 K, j- K! h( x
' X6 z4 ?: a2 S7 ja(a-b)=(a+b)(a-b)
% Q- T* E& m5 \, p" va=a+b
& o- k$ C4 ^( R: ta=2a( l! a& u9 a3 F
1=2/ h6 R, k2 ]3 e3 ^
2 O' d0 P1 M* O+ T" W" d7 i
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
0 n8 ?+ d3 O! ]: @" P
/ _  k2 ~1 c1 |4 w1 m  N1)不能。比如1
3 Y  U; H+ d) P2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。8 q4 M* A) K- `& T8 A
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:3 d2 E- s$ Q8 t9 G, w
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
/ Z5 L  V$ u! B7 f; y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
# W4 }+ U* D3 Y" k! s5 G
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:5 X7 Z: G  K- x" V3 m  ?
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。% ]- ~8 Q% _% [$ t  ~( ?$ c
+ s# D' {& c5 [2 P% D" T9 K. i7 I$ ?
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* `5 q4 `. H0 k( y( S$ _
  q4 Y5 @: [% RProof:
/ F0 Z- Y; b5 Z8 o% o0 {0 iLet n >1 be an integer & m3 H8 s$ v# L+ N
Basis:   (n=2)/ m( @6 w5 {- j) W7 ]
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3' o; H: R, n6 R5 t

0 E0 C- g) M5 g! `Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that) B0 z3 \2 l7 ?7 T4 ?
                                     K^3 – K can by divided by 3.
$ K0 p6 b& v. y+ E/ i0 a% p  U, }( y# S" B6 t" Y6 N
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3$ n; W+ H) ]$ M8 |% V
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
8 |7 N% e; ~1 q+ |, k! YThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
9 Q1 D# p& K. x4 R                                     = K^3 + 3K^2 + 2K; i+ ]( @0 X' L, M6 l
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)3 P. i( K7 g' Q, {- h7 ~# Z) d
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)" ?; T2 O9 ^& }9 p4 H8 c
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0+ ^8 q4 b9 f! |7 B$ X2 f( B5 B6 u# i
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. M9 H3 {8 `6 e! H& {( p! s                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- w9 x8 O) W5 R  s# l                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 33 m& S0 M3 d, J& Q1 u
3 n1 m8 G! ~# z# K, Q+ ^
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 {3 {( W- U* V# I7 A2 c
3 `) \0 d1 ~( k6 ], a9 \  V4 j# B[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
# d* A! H+ X6 P
6 @- w# }8 w% M# w第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:- O; R( Z" f7 J# c$ B
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' D$ b) O# a- [: ~
  }6 B$ A; \' pSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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