出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

% u. q3 L' O, {3 p1 Q! V1 K+ w2。下边证明有没有毛病？

: r9 E$ }$ h( V设  a=b
& }, B" ^& L9 K: w
3 }" ~) `' n# D: C  q0 v则有： a*a-a*b=a*a-b*b
4 C$ F9 v; U/ r, A) c. t两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
( ]9 Y& \1 w8 W* p- j: U: e+ H5 t
/ P+ t# M2 W) Z4 ca(a-b)=(a+b)(a-b)
2 T$ H) ?8 W$ Y6 z4 aa=a+b
, S8 O* k4 O) |1 i' xa=2a
1=2

1 a. B# P; p4 _' d- R证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
3 y' T: r9 g9 t4 l: y
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' V2 e9 m3 M& G- K. F" K2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, Z9 B; X* @$ Z$ Z; @1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ S6 T; T. x, r7 H9 p. K! T

& _3 {0 a% ^/ x为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* d0 b: Y5 e6 o8 w! |4 E9 U
3 M+ D! f* r: W% }) d: BProof:
" Y4 D) ^/ a' ~Let n >1 be an integer
3 F/ ~4 `3 i' Z' z2 x5 A# wBasis:   (n=2)
  r" x) {' }" I' c1 R) d         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
. x8 I( |( g. M- D& v
& ^" p1 a& I% t4 t) iInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
# ?) z! p7 n7 g9 h6 W                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
& x5 ^, F+ m. a4 H  t+ q" p+ ]1 m2 a                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
  j2 S! D# j) y0 j                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# _# w3 f3 v% C  X) G/ |by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
. E( w- O. {( ~% dSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
4 P' t: V; |9 E1 H& N3 Y
- n* n4 K- Y# {2 \" x( d5 pConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
8 M/ B2 c* [( L- ~6 m9 \$ T- i' `/ y
/ }  l* g4 U* o0 A/ Q第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 r( u3 A6 x% Y8 v) u
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.