出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
& O  Q9 z1 C2 P7 A/ f0 E( B; ], C
2。下边证明有没有毛病？
8 J+ l5 E- f9 e! X
1 C5 }$ g; r  u8 p/ E: r2 V设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
# E7 J5 t! P$ A) r/ X; B' j% v两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
7 J* K! y& Q/ J% Y- D1 j! p
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
" f3 G2 g* ~. |. }a=2a
1=2

8 |3 h: g7 a# }2 @* u' T证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ T) @' b5 F6 o. ?7 H3 d+ d0 q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% Q& M1 F( Z( F- M$ _1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

3 ?( t5 ~- d/ X. L! Z/ O! S: y看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ J5 \0 ~& e. C% L4 g

. @, a- o# K7 `为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
6 n6 ^0 `7 L* j# p* iLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
% g" w% Z0 v1 {         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

) l7 l- }( n% HInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
$ x( t% d! N* W; r: ~4 d                                     K^3 – K can by divided by 3.

$ i/ P$ i, r- v( h2 Y7 ~; PNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% v( m7 e- a) a3 Nsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
; i/ Y* M* T0 O5 z0 kThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
$ [0 D' U; ^: M. o8 a9 T                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
. h  x4 {; ~3 S% H# n                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
1 r2 v" Z+ p' m- D) m- Q% M                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 m8 Y. }% y3 K" ~& W2 }3 D+ N% qby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 _$ i' u" |+ X6 a5 b                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
7 Z: h7 D8 W  P3 a8 X                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
9 j' I# L3 y  I
8 }8 V' }% O0 H4 [% jConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
" J8 K% i% }4 k
' L) Z+ k; `. r' l" X$ Y* E7 C2 j; B[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
8 s8 O" M" C- K3 a1 Z, H
+ B% i5 d0 T3 }* p8 n8 G第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
( G7 e; R$ s3 b3 r, p. kShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ ]% @3 t0 ^  Z; _" h( `" p/ e
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.