出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
7 e/ F4 X  ?2 P" E3 J- p* i
3 y/ T" b! o, W; w; [3 E* J2。下边证明有没有毛病？

1 X/ z8 X' W( {6 w4 {设  a=b

9 \3 i2 V7 I/ G+ Q2 `则有： a*a-a*b=a*a-b*b
" x+ e3 n7 }. |两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
) Z  }# |0 V1 h6 ]" Va=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
; a5 u! u) W% a2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 r$ s% O/ \; f9 C" e2 l1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 n! ^+ c/ q. ]) ^2 P! r

9 Q, L1 k7 g; T3 N4 K& x+ Y为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
4 v$ C! C" V! S, j+ O) vBasis:   (n=2)
( `' m& V8 |* b1 s' H         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
5 w8 e. f4 L+ A7 H6 |3 q
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
% j6 \3 N$ _3 a2 p* m: o7 u
: r& U1 N; r+ MNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, S$ `7 D- {0 X2 f1 }- G- k, Lsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
/ l- h; P1 b" `2 g2 ?3 z! zThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
: N7 R8 F5 F: U( |                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
. g  O+ x- S) X3 E                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
( o+ p, n: `) R: p% Q. _                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, r0 q$ R6 l- `4 j2 `  g% R! kby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. F$ ^' U6 H9 W3 Y                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
9 l2 Z% `5 e% ]5 i$ l/ i                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
9 s$ C+ y5 d! h3 l8 D2 r
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 K7 r6 _+ p  L
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
& J. x4 Y0 ?. ?( K. }
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
- V' N# n* }8 Z. I" vShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& E: j; e8 L* _1 f+ z% F4 L+ A( l
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.