出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

- }0 |5 o) D  S; l2。下边证明有没有毛病？

5 c% I7 a) B: Z& R; _4 q设  a=b
1 F, ^, I1 e/ [# K
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
* j4 V  E: ?& @& C
% o  O' A2 _! V9 i, M6 |a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
+ z, h& \1 w  }a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

% V% ?2 \: x3 Z* I/ S8 b1）不能。比如1
7 t4 ?8 Z) X, Y- ]3 x2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% N" C( h! |7 ]- K  I. |. z, R( d  |2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& E- }$ g. @& n) T8 W1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" }, b$ f+ c% _: D" F# ~& t2 m6 E2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

6 R1 y* ?4 @) o* `, v看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# R' s; j% }) C6 ?! ~& y7 c: I

1 q; c  }8 C) \5 w& ^  V为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

. [; P  |* V1 Z) fProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
/ o: T! X0 O* P2 E         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 e1 q1 S6 @9 W/ a: G* v3 k
6 c4 n3 G8 K7 z- v$ EInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 l7 w2 D5 C, d                                     K^3 – K can by divided by 3.
& j" K# j7 i! z  z" s2 j1 M
9 L6 E0 D' W% m/ B+ QNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
% Y4 g! i- S& m) G1 qThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
5 y8 a+ s% R6 _0 G7 `* B                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

+ H7 V9 e& W8 C8 H. K+ xConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

. ^  P: w% P/ k6 G+ S* [
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.