出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
! C+ `' z: i: N0 U0 b
设  a=b
0 S. d3 X) v1 W! s
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
/ `0 V# u2 x0 C$ |: J两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
0 |& \. q" W2 d; Q1 O' q+ S3 C$ Fa=a+b
a=2a
, f' }$ z% C  [% a0 t! N1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
4 v+ g& B# v) y' C) }  j& {
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* V/ X9 m% Y! {9 b/ n1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 F& I) d2 x4 @8 N7 t% T8 u2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, `( U( n9 M" O1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 C5 a2 r) K" u: K2 Q

; U% |* X# |" P  Y& k; L( q为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
2 Z9 A9 o8 B/ I+ \! h8 W/ P' v3 C
* _- e9 ~" m  t, z  l/ vProof:
& e) d( P9 N6 U3 c8 Z& H6 C* ULet n >1 be an integer
" ]& t. [. C( T/ KBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
# F; j; ?0 T3 M( d
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
$ h3 P# L$ l, d% x& L3 P8 M7 v                                     K^3 – K can by divided by 3.

4 N. r+ y0 Y( m6 l* K  @Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
$ t8 _5 A5 a7 g( A, r+ C" WThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( E6 v& J( @2 G' Pby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
4 e: L. l7 ]1 e2 C' g7 C0 ASo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
3 {9 b, t  ]. B9 o7 G  J                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
0 k' Z( y% {* @6 [& R
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

: W* d6 n' j6 P8 y9 @7 [) w/ B( q
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.