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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?+ I8 k2 h7 l4 W& z

- }0 |5 o) D  S; l2。下边证明有没有毛病?6 E- U6 d9 Z2 s; ?! v* |6 d' B1 h

5 c% I7 a) B: Z& R; _4 q设  a=b
1 F, ^, I1 e/ [# K# C) P' j1 g- r  A1 N
则有: a*a-a*b=a*a-b*b8 m' f; s( @* l# k
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
* j4 V  E: ?& @& C
% o  O' A2 _! V9 i, M6 |a(a-b)=(a+b)(a-b)5 h7 I: ^! _2 k( @" s
a=a+b
+ z, h& \1 w  }a=2a. l$ |& @  t. K& J' m( P$ ]
1=2) l, q5 f! t8 Q3 y, V" w6 q' l
- ?# Z6 O- b  V) ]
证毕 ,结论,1=2
大型搬家
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试1 e4 ^# w& @4 ]; Z

% V% ?2 \: x3 Z* I/ S8 b1)不能。比如1
7 t4 ?8 Z) X, Y- ]3 x2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
% N" C( h! |7 ]- K  I. |. z, R( d  |2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& E- }$ g. @& n) T8 W1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
" }, b$ f+ c% _: D" F# ~& t2 m6 E2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

6 R1 y* ?4 @) o* `, v看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:+ o  W- I" Q# D8 D; t( O) ~9 J- Z
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
# R' s; j% }) C6 ?! ~& y7 c: I

1 q; c  }8 C) \5 w& ^  V为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)6 A7 s) Q$ i8 _- a1 A/ I* M

. [; P  |* V1 Z) fProof: / ?7 o7 P6 A/ b: y3 m( a' [
Let n >1 be an integer ; F" @# s# k# S2 U" `! I' a
Basis:   (n=2)
/ o: T! X0 O* P2 E         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 e1 q1 S6 @9 W/ a: G* v3 k
6 c4 n3 G8 K7 z- v$ EInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 l7 w2 D5 C, d                                     K^3 – K can by divided by 3.
& j" K# j7 i! z  z" s2 j1 M
9 L6 E0 D' W% m/ B+ QNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3* P4 I8 W4 s9 \  w6 h
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
% Y4 g! i- S& m) G1 qThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)6 Q. W3 w4 A" L  p9 d
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
5 y8 a+ s% R6 _0 G7 `* B                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)7 W. }1 A/ A6 b% f* g
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K): V0 C! j" B* R2 T/ m
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0  ^  }9 e: i. f% \+ i/ M1 y
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)7 I; J; X) X2 I0 W1 s4 H
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)0 ]( z3 x* M* ^& ]2 f
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3% Q* s/ k5 Y4 [: Z

+ H7 V9 e& W8 C8 H. K+ xConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.3 q/ A9 s. y, G+ `. Z6 g
  g6 _6 d! O* C# e( ]" s4 y0 m
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
大型搬家
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。( f. j# B! t7 ]' u
" P: e6 w! D( }1 H
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:% e5 B- y8 q' J0 g. L( Q' {
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

. ^  P: w% P/ k6 G+ S* [1 T2 ]6 ~! w8 z  |  Z# v$ v
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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