出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
  K7 }5 U& X3 b8 @, [; R$ f
4 p  ~7 D7 R/ `2。下边证明有没有毛病？
* i5 s- t1 I- r/ h; q, ?0 [3 P
设  a=b

. x' a, C; [5 q$ g/ B0 l则有： a*a-a*b=a*a-b*b
6 W4 p) ^0 v1 u& U* s. a* Z两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
$ O$ l, W* z* w3 Ja=a+b
6 b4 r, W' w1 N4 Za=2a
4 z9 |( T1 j) ?, m/ \1=2

& k! ]# O. m/ x证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

( I& \# K% y& A3 r# T1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, X& P% N( z, N5 G1 P* i$ O2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 p# d: P2 l) b$ z/ U0 ?8 m看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: B$ E0 k3 \/ m8 L3 k2 \

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
3 M6 u( M% [7 n8 o4 T
Proof:
Let n >1 be an integer
  V" ^/ y9 N2 p, d5 {5 DBasis:   (n=2)
$ ?) l" E+ F. G7 ?         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
2 Y! D& h/ ~, d" P6 S: A6 Y6 \
, l- ^3 W* K( F7 fInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
; H  I% _4 G$ \- w# x                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
+ e  E; Y9 |8 o* p3 U8 Z7 C* d6 d3 B7 SThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
$ ?& P( A3 F2 D# ]  t4 ?                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
* H* V* P2 f" E8 O! s                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
6 p+ o- b$ L! _5 N% J' j8 S                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  A& s" [" }4 P9 v                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 d: L; J! W! N  }                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) H3 M5 d% d8 Q& X. E5 C
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
& q: j3 J$ Q* n0 X
6 `1 L' w9 s6 c$ F6 ^第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 K9 W& f6 P8 o4 z8 I# z( ]
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.