出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
! {5 B& p* c. W& _- ?7 I
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
$ a3 V: |# h8 n- l两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
! K# {7 m6 Z1 p3 k9 m- l! X
2 z4 l7 C3 b3 J5 ia(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
; Z4 M7 \) ^% V7 v& Z) da=2a
8 n, t' `3 G' S. a2 u1=2

; N! g: C8 Y' V8 Z证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
# W% u  F/ i1 d, Z8 O; c
1）不能。比如1
% d. f7 c; ]" L! m5 K2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ c/ k, I/ S- E% J2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) s% U( v$ U# A5 S3 ^1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

  ]8 J- O9 l1 Y( ^5 m* p看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

  ~! d, b" U- u6 JProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
% J6 d$ J0 M" e3 }3 }         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
4 A, |$ b5 I+ w1 C                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
6 H1 j# {4 E! U7 I                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
: x" Q6 t6 @. J* `0 u: A7 L                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 H2 \5 ~2 y7 _                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 k' ~% L/ v: i' k                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
( L& O* `6 a0 h+ E1 ^
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
2 J3 f' {  H2 t: J5 [. y6 j  z
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 p$ J  }/ ~2 b5 ^+ b! x/ n
" l6 p( b. G/ @8 |( ESORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.