出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

3 x/ z* F' p8 ^5 P设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
! b: n8 Q6 G0 k2 P" ?5 l% E" A两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
5 ]2 I0 c. V5 f, l* l9 H8 Ca=a+b
a=2a
, V2 e' S; l- w- P% o% M5 _2 I1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 _5 a6 r3 W" H+ U' ~8 v' @1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# ?3 t+ o3 ?' o0 m0 K3 I$ A2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

" V* e8 f5 L$ a, A8 G) N为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
4 E9 j$ h3 [% v3 \
' A9 u; b  f1 d2 MProof:
Let n >1 be an integer
7 u2 ]2 w5 h! j0 }, m  ~/ gBasis:   (n=2)
/ }3 X# k0 n, y2 N* S; ]         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
3 a" S* _& d4 f' r5 c
: T" i+ i' V) fInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, |8 U" [  z/ y" F% w% wThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
- u0 |1 F- P3 z; X                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 X5 U  A  G3 g4 r: v. L" Fby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
, }; @- M5 Q: r$ Q4 U# U9 ZSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 {$ o8 n. J& w                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
, h+ S; L4 g2 g. |$ W0 n                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; p9 {& T( H6 m0 h  i" [  ~" P/ H: ?# D/ g
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

3 g; U$ s, z. f* _第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

* q& U1 n! A5 K6 A8 p+ cSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.