出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
0 H8 C' N  P( @- P2 `$ P
6 Z$ q; H: Q. j$ B5 ^2。下边证明有没有毛病？
7 Z' J- u& B. z0 g- `
0 h+ `9 E) _4 ^2 j% h3 F" O设  a=b
- l3 o, R& L. t  L3 K
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

1 U8 s" O/ n* n  P5 Y9 Ia(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
+ ]4 y% q8 _! N6 W: f3 G$ l. [a=2a
8 h- G( i# `0 h& H1 r1=2
- i$ g( _. u# P3 u+ R& `
1 a$ m2 G! @6 H; q! Q证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

$ h* C% E4 I7 Y! _* C7 m1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 i) e: Y/ P/ v+ n& Q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& t( q2 }1 d5 o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 [+ M5 ]+ c4 C* ^: G2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# D& |$ l* J; a1 s

& ^6 f. [) Z9 I% R* A+ @0 s为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
3 o1 K! L7 j, ]
* ~) |) l0 I5 v; c. ]Proof:
Let n >1 be an integer
9 R1 g. E, @! s! Y) u6 S9 Y: h" WBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
- R1 h& n+ L7 e( i% e
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% e" U. ~# A/ e3 Ysince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# L" K9 V' g5 C9 {& ]Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
  [- B% L8 I% R( N+ u) @                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ M1 T; ]. Y* M4 l" P2 |by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
; l7 l! l/ K4 U5 bSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 z7 I  z# A. r. e) V                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

, s% o2 `% O1 ~( u) @, |% c! aConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
; h8 f; d6 S  j2 h/ _
$ H" G( Y7 j7 c, K: K/ \9 I第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& t# g  e8 t* w" S2 E; P$ q: i9 _
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.