出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

; Q; |5 B2 ~, Q& t$ L9 |7 u2。下边证明有没有毛病？
6 k5 l* r& l  x9 j0 D
6 S2 r; G! t7 X- V设  a=b
) R/ C  J5 h5 `! I$ {) x& t
3 F/ b2 q. ^# O; Y& S则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

. E  E* ], ~7 ca(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
) t% _; L( f3 E9 o4 Z7 R2 ha=2a
1=2
9 S: ^$ r* A9 C' z% S
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) Q! E6 {* m0 i9 c! I# F5 H2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* h6 E0 m: F6 F' G8 b$ I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

3 R- i8 ]+ i$ n6 J5 B为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
2 L' ?7 D/ [# G) B1 m5 v9 G
Proof:
' r" ]: S& ]6 PLet n >1 be an integer
" i8 `9 u# X) H, A; {9 S4 [2 P% bBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

; F( `4 z; J7 ?. j- cInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, W" ^# |( K) {6 B6 {Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
" c7 I9 p% F' K* ^- D' B  j$ p                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 e8 D: D( G; I1 lby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
6 A, Z8 c/ C4 s2 G5 C: ASo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
$ t/ W9 w0 r0 Q                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
! W# v3 P$ Z2 A" _3 @
9 C7 c/ B! H" D7 y2 R7 Z5 i[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

: P5 ~9 q& s( s3 e: S/ K第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* X8 }. i" C* _/ R4 W0 y/ lShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 o% h$ K, d( t1 d/ {! r
- ?5 J: f3 M# B' S; N8 jSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.