出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
  B3 |. S! g3 B7 ~' }
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
9 Y/ {/ O5 [4 W+ S/ h两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
1 i+ M3 Q3 M  \% i0 v" J" j" U
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
) C9 o8 ]2 L* ~5 U6 X7 q2 M' za=2a
# Y$ \- A2 u0 n* c1=2
* k+ m4 ?. z4 T  l2 Q0 @
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
1 L1 D3 t. L! ^% K2 w; i
2 [9 D- \* ^+ }- s, D+ r1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 x7 s! e( d' |7 P, S# e2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* H' _/ s* I" f: O8 N" z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
# `6 t9 Q0 Y( O  H% T6 qLet n >1 be an integer
, o1 Z3 m' B' KBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

7 m' n& o2 D( c% V/ q! l/ LInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 i. X$ Q# T3 B) V. E8 a4 x: U6 U                                     K^3 – K can by divided by 3.
* N0 m3 y: D- j2 b5 ?
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
1 l1 _, h. U0 Z) ~; L2 w/ ~, [since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
4 ]( y; L' N& A' L" e& M' aThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
1 p4 c  j" A& ?: Z2 |  r                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
7 b3 C( |6 `& v  U5 T8 f  b                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 X0 R% z# @- D8 Jby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
. C! c- l; z7 W+ W* SSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
: g* Y5 p3 }6 X' c- j' c7 f$ L% Q                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 V$ Q! X2 m  V
. h  U* A2 }* P- ~/ T- a第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
2 B5 q) k+ ?, f4 I7 ?: T/ b, vShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.