出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
" {! s6 V1 n8 \. c* Z3 M" B0 e1 L
设  a=b
/ r/ X4 m" n) K7 Z2 H, O
" v, v1 a& {, \( w则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
3 h& M) j4 M( r) H
0 i1 u. c8 G5 z- l- [3 La(a-b)=(a+b)(a-b)
! x3 f3 a) _8 K" G: e) o. Za=a+b
a=2a
1=2
6 w$ @4 p0 a) X& E) B$ h8 }8 z
& }) l) U0 p1 w/ A证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
8 h! q8 ]' R& g0 _( |" Y2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 ?! ]9 K1 \- w4 `* R3 [0 A8 M1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 B& k- S5 U+ `2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 M* C, h( P, E1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

! q# s* y4 D1 u; U$ ^Proof:
) K% U/ h& L+ t* W* A1 YLet n >1 be an integer
9 P4 M; h" }, b, Q( ?Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
5 F& R/ _9 t$ P0 r4 A8 u% d8 f                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
! K' h8 F- B7 z2 i9 A" R5 N! x# PThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
) E9 k; O/ J: u" A, p* R                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

2 ?5 _' R2 o2 {* C3 g' IConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

9 ^7 N6 J, H( c/ w7 m[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

. ?& ?! y2 s. n4 }$ B" t# s
9 L' r) c0 C# iSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.