出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
  m7 k) ^  U8 Z* i! f8 B
2。下边证明有没有毛病？
% S  F1 l3 m+ B8 r0 G' G6 t  J" D
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
9 f' c: }% l, F两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

! |" c& p. N  f- E$ ya(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
) ?! l) p4 ^( v3 r/ }/ `2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 ~5 ]# S- }# c; @* ]& w% l; G% s1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 O' c7 m9 B- ?1 ]& [1 j2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

; c4 C8 U7 H+ r+ f2 ?: h看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
. a0 Q2 f+ ]0 G% ~( c1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

, I* J- V3 B& ?! Z& E( F为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
% [. g' H( P! A6 B
Proof:
7 Y2 Z! U. J% U/ W' gLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

# ^0 ]/ W# U/ r; K/ e, J! _- hInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
. s$ r7 _( W1 o  A5 b' @8 H                                     K^3 – K can by divided by 3.
( j' J5 N2 ]! E. o, H$ h$ I
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
4 u4 w$ Z. |2 i! I# N, F! h' Rsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
& Z% ^) m' N' d; N- T                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 Q) @, {+ z/ W4 |6 k+ {So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 q2 w" g5 f0 T0 X                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
/ ~4 I* `0 H% T4 p/ Z& k, B                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
, _: \  D8 ?* l' {5 }
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) c# m/ N9 v; `( g$ S* N
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
5 t, A3 ^  E) w# E+ O) h" a9 t
6 u1 o7 d- f3 ?. a* `) R第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
. _( X- f- p: \, N' i, g$ T/ MShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.