出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
! z% k/ `5 k! _4 ^  ~/ z; J
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

5 p* R' N0 x" c则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

7 z3 b: I1 J5 Wa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
' _" `6 a  ?0 P5 D1 Q) Ua=2a
1 ^/ p. t2 a- J$ h& b1 n& l7 @1=2
& u, h1 t. Z, }8 ]6 N
2 J3 H& f3 H5 C: n' }; O( z证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 u% ^4 M8 M9 }; a  V" D2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 Y5 d# S; A/ c( w/ v6 a& v! e看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

- a& {5 o! b' T3 Z为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
2 S0 \- \& G" KLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
9 G4 p4 n  ^# O7 F6 i; u         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

# a4 j  g" u  V2 C2 b$ PInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
# c; H3 k* J3 }9 F9 ^                                     K^3 – K can by divided by 3.
' Z* n+ W" O! k0 X) L  y4 Q
% g0 o: ~( B% h& I  oNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
8 H5 B  ]' b9 f9 Ksince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
$ p' r0 d, _3 p( n5 j; bThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
8 M0 l" }- L4 K4 a4 l  _; tSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
8 \. |: s9 H1 h# w% D1 _1 |8 r                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 f" A& S$ T3 ?4 C; s, [3 s
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
% H: Y8 H/ A5 C$ `" F: f
0 D  ?1 p: O& x. M[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
8 v6 P. `) X6 }
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& v8 u$ m8 x$ V$ D6 j4 @SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.